Теорема синусів: у будь-якому трикутнику сторони пропорційні синусам протилежних кутів, а відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює діаметру описаного кола. Теорема косинусів: квадрат сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними — c² = a² + b² − 2ab·cosC.
Презентація «Теорема синусів і теорема косинусів» — це урок геометрії для 9 класу на 31 слайд. Головна практична цінність матеріалу — чіткий критерій вибору теореми за набором відомих елементів, а також два покрокові приклади розвʼязання й вісім завдань зі зростанням складності.
Презентація «Теорема синусів і косинусів» охоплює:
- позначення сторін і кутів трикутника
- формулювання теореми синусів
- формулу з радіусом описаного кола
- наслідок із теореми синусів
- формулювання й формулу теореми косинусів
- знаходження кутів за трьома сторонами
- критерій вибору теореми: SAS, SSS, сторона + 2 кути
- звʼязок теореми косинусів із теоремою Піфагора
- два покрокові приклади розвʼязання
- вісім завдань і алгоритм розвʼязання трикутника
Зміст презентації:
Теорема синусів
У будь-якому трикутнику сторони пропорційні синусам протилежних кутів. Це дає змогу знаходити невідомі сторони й кути навіть тоді, коли прямого кута немає. Повна форма теореми включає радіус описаного кола: відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, описаного навколо трикутника.
Із цього випливає практичний наслідок: знаючи градусні міри кутів і діаметр описаного кола, можна знайти будь-яку сторону трикутника. Теорему синусів застосовують, коли відомі сторона й два кути або дві сторони й кут напроти однієї з них.
Теорема косинусів
Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними: c² = a² + b² − 2ab·cosC. Для сторін a і b формула аналогічна — достатньо поміняти позначення.
Теорему косинусів застосовують у двох випадках: коли відомі дві сторони й кут між ними (SAS) або всі три сторони трикутника (SSS). У другому випадку з формули виражають cosC і знаходять кути за трьома сторонами.
Звʼязок із теоремою Піфагора
Якщо кут C дорівнює 90°, то cosC = 0, і формула теореми косинусів зводиться до c² = a² + b² — тобто до теореми Піфагора. Саме тому теорему косинусів іноді називають узагальненим Піфагором: вона працює для будь-якого трикутника, а не лише для прямокутного.
Порівняльний слайд зводить критерій вибору в одну картку: сторона + два кути або дві сторони + кут напроти — теорема синусів; дві сторони + кут між ними або всі три сторони — теорема косинусів.
Приклади й завдання
Два приклади розібрані покроково. Перший на теорему синусів: за кутами A = 40°, B = 65° і стороною a = 12 см знаходять кут C = 75°, а потім сторону c ≈ 18,0 см. Другий на теорему косинусів: за сторонами 7, 9 і 13 обчислюють cosC ≈ −0,31 і найбільший кут C ≈ 108°.
Вісім завдань ідуть зі зростанням складності — від визначення потрібної теореми до практичної задачі про два трактори, які проїхали 7 і 8 кілометрів під кутом 120°. Завершує урок алгоритм розвʼязання трикутника з перевіркою: сума кутів має дорівнювати 180°.
Підходить для: учителів геометрії 9 класу; для вивчення теми «Розвʼязування трикутників», уроку розвʼязування задач, підготовки до контрольної роботи та повторення перед НМТ.
Схожі матеріали: Презентація «Алгоритми та основи програмування», Презентація «Штучний інтелект», Презентація «Кібербезпека».
Часті запитання
Як формулюється теорема синусів?
У будь-якому трикутнику сторони пропорційні синусам протилежних кутів, а відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює діаметру описаного навколо трикутника кола.
Яка формула теореми косинусів?
c² = a² + b² − 2ab·cosC, де C — кут між сторонами a і b. Для інших сторін формула аналогічна.
Коли застосовувати теорему синусів, а коли косинусів?
Теорему синусів — коли відомі сторона і два кути або дві сторони й кут напроти однієї з них. Теорему косинусів — коли відомі дві сторони й кут між ними або всі три сторони.
Як теорема косинусів повʼязана з теоремою Піфагора?
Якщо кут між сторонами дорівнює 90°, то cos 90° = 0 і формула перетворюється на c² = a² + b². Тому теорему косинусів називають узагальненою теоремою Піфагора.
Створіть своє перше завдання на урок прямо зараз. Це безкоштовно
